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Nov 02

Ein kurzer Ausflug in die Matrix-Algebra

Atomic MatrixZuletzt haben wir nur Portfolios mit zwei Aktien untersucht. Um das unsystematische (oder diversifizierbare) Risiko weitgehend auszuschließen, reichen zwei Werte definitiv nicht aus.

Wollen wir aber die bisher eingesetzten Berechnungen auf ein Portfolio von fünf oder gar zehn Aktien erweitern, stoßen wir auf Grenzen. Zwar ist die Berechnung prinzipiell möglich, doch nehmen die Formeln immer monströsere Ausmaße an.

Mit Hilfe der Matrix-Algebra lassen sich die Berechnungen wesentlich einfacher und eleganter durchführen.

Da im nächsten Tutorial die Matrix-Algebra eingesetzt wird, erfolgt in diesem Artikel eine kurze Einführung in die Materie.

Sie können dieses Kapitel gerne überspringen und die spätere Vorgehensweise einfach kopieren. Falls Sie aber den Vorgang nachvollziehen wollen, empfehle ich Ihnen weiterzulesen.


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Einführung in die Matrix-Algebra

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von reellen Zahlen, die entsprechend ihrer Größe als “m x n (sprich m mal n) – Matrix bezeichnet wird. Dabei gilt:

m = Anzahl der Zeilen

n = Anzahl der Spalten

Die einfachste Form ist uns allen gut bekannt. Die “1 x 1″-Matrizen (auch als Skalare bezeichnet) sind reelle Zahlen, mit denen wir im alltäglichen Leben rechnen.

Weiter Sonderformen sind:

Die “m x 1″-Matrix, der sogenannte Spaltenvektor   \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}

Die “1 x n”-Matrix, der sogenannte Zeilenvektor     \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\end{bmatrix}

Eine zweidimensionale Matrix A, z.B. in Form einer “3 x 2″-Matrix, sieht wie folgt aus:

 A=\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6\end{bmatrix}

Die transponierte Matrix

Eine Matrix deren Zeilen und Spalten vertauscht wurden, wird als transponierte Matrix bezeichnet.
Aus der oben verwendeten “3 x 2″-Matrix wird somit eine “2 x 3″-Matrix:

 A=\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6\end{bmatrix} =>  A^T=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\end{bmatrix}

Das Transponieren einer Matrix werden wir für unsere Portfolio-Berechnungen desöfteren einsetzen.

 

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Die Addition von Matrizen

Eine Matrizen-Addition läßt sich nur ausführen, wenn die Dimensionen der zu addierenden Matrizen gleich groß sind. Eine “3 x 2″-Matrix kann nur mit einer “3 x 2″-Matrix addiert werden.

 A=\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6\end{bmatrix}  B=\begin{bmatrix} 11 & 14\\ 12 & 15\\ 13 & 17\end{bmatrix}   A+B=\begin{bmatrix} 1+11 & 4+14\\ 2+12 & 5+15\\ 3+13 & 6+16\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 12 & 18\\ 14 & 20\\ 16 & 22\end{bmatrix}

Für die Subtraktion von Matrizen gelten die selben Regeln.

Die Multiplikation von Matrizen

Die Multiplikation von 3 Äpfeln * 2 Birnen ergibt nicht 6 Apfelbirnen. Diese Multiplikation macht keinen Sinn. Haben wir aber 3 Kisten mit jeweils 3 Äpfeln und 2 Birnen, können wir eine Multiplikation in Form von 3 * 3 Äpfeln = 9 Äpfeln, sowie 3 * 2 Birnen = 6 Birnen durchführen.

Auch die Multiplikation von Matrizen macht nur Sinn, wenn gewisse Bedingungen erfüllt sind. Lassen Sie uns zwei Matrizen multiplizieren:

“m1 x n1” * “m2 x n2

Matrix 1 hat m1 Zeilen und n1 Spalten, Matrix 2 hat m2 Zeilen und n2 Spalten.
Eine Multiplikation ist unter der Bedingung möglich, dass n1 = m2, d.h. die Anzahl der Spalten in Matrix 1 muss gleich der Anzahl der Zeilen in Matrix 2 sein.
Ferner gibt m1 die Anzahl der Zeilen und n2 die Anzahl der Spalten des Ergebnisses aus.
Dazu drei Beispiele:

 A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\end{bmatrix} und  B=\begin{bmatrix} 1\\ 2\end{bmatrix}

“1 x 3” * “2 x 1″

Matrix 1 hat 3 Spalten, während Matrix 2 nur 2 Spalten hat. Eine Multiplikation ist nicht möglich.

 A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\end{bmatrix} und  B=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}

“1 x 3” * “3 x 1″

Matrix 1 hat 3 Spalten und Matrix 2 hat 3 Zeilen, somit ist eine Multiplikation möglich. Das Ergebnis ist eine “1 x 1″-Matrix.

 A=\begin{bmatrix} 1 & 2\end{bmatrix} und  B=\begin{bmatrix} 3 & 5\\ 4 & 6\end{bmatrix}

“1 x 2” * “2 x 2″

Matrix 1 hat 2 Spalten und Matrix 2 hat 2 Zeilen, somit ist eine Multiplikation möglich. Das Ergebnis ist eine “1 x 2″-Matrix.

Wann wir multiplizieren können ist nun bekannt. Stellt sich die Frage nach dem “Wie”.
Dazu verwenden wir die beiden Beispiele, bei denen die Rechnung möglich ist:

 A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\end{bmatrix} und  B=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{bmatrix} =>  A * B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1*1 + 2*2 + 3*3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 14\end{bmatrix}

Der erste Wert des Zeilenvektors A wird mit dem ersten Wert des Spaltenvektors B multipliziert, anschließend der zweite Wert von A mit dem zweiten Wert von B und der dritte Wert von A mit dem dritten Wert von B. Die einzelnen Ergebnisse werden addiert.

 A=\begin{bmatrix} 1 & 2\end{bmatrix} und  B =\begin{bmatrix} 3 & 5\\ 4 & 6\end{bmatrix} =>  A * B =\begin{bmatrix} 1 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 5\\ 4 & 6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1*3 + 2*4 & 1*5 + 2*6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 14 &17\end{bmatrix}

Der erste Wert der Matrix A wird mit jedem Wert der Spalte 1 von Matrix B multipliziert, die Ergebnisse werden addiert und bilden den Wert der Spalte 1.Der zweite Wert der Matrix A wird mit jedem Wert der Spalte 2 von Matrix B multipliziert, die Ergebnisse werden addiert und bilden den Wert der Spalte 2.

Mit diesen Informationen sind wir gerüstet, die Portfolio-Berechnungen in der Praxis durchzuführen.


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