Nov. 23

Untersuchung zu weiteren 200-Tage-Linien Strategien

7Jahre_DAXDiag-01(auf Grafik klicken zum Vergrößern)

Ein großer Nachteil der 200-Tage-Linien Strategie ist – wie bereits erwähnt – die Gefahr von häufigen Fehlsignalen, vor allem in Seitwärtsmärkten.
Deshalb wurde schon immer nach Möglichkeiten gesucht, die Strategie zu optimieren. Oftmals wird in diesem Zusammenhang ein zweiter, kürzer gleitender Durchschnitt in Kombination mit der 200-Tage-Linie eingesetzt.
Gängige Werte sind der 38-, 50- und 65-Tage-Durchschnitt.
Die Umsetzung ist denkbar einfach: durchbricht die kürzerperiodische Linie (z.B. die 38-Tage-Linie) die 200-Tage-Linie nach oben, so wird ein Kaufsignal erzeugt. Erfolgt der Durchbruch nach unten, wird ein Verkaufssignal generiert.
In der Charttechnik bezeichnet der Begriff “Todeskreuz” das Durchschneiden der 50-Tage-Linie unter die 200-Tage -Linie.

Im weiteren Verlauf werden die Kombinationen der 200-Tage-Linie mit der 38-Tage-Linie, der 50-Tage-Linie, der 65-Tage-Linie und der 90-Tage-Linie über einen Zeitraum von  sieben Jahren hinweg bezüglich der jeweiligen Performance untersucht. Wie schon bei der vorausgegangenen Untersuchung werden die Variationen nochmals aufgeteilt in eine reine Long-Variante und eine Long- und Short-Variante.
Bei der Long-Variante werden nach einem Kaufsignal DAX-ETFs erworben, die sich 1:1 wie der DAX-Index bewegen. Erfolgt ein Verkaufssignal, werden die DAX-ETFs in Bargeld umgeschichtet.
Bei der Long- und Short-Variante werden ebenfalls DAX-ETFs nach einem Kaufsignal bezogen. Nach einem Verkaufssignal wird allerdings in Short-ETFs umgeschichtet, die sich gegenläufig zum DAX-Index entwickeln.

Der aufgeführte Vergleich bezieht sich auf den Zeitraum vom 1.01.2007 bis zum 30.12.2013. Für die Untersuchung wurde der DAX-ETF mit der Wertpapierkennnummer DBX1DA für die Umsetzung der Kaufsignale eingesetzt. Als Short-ETFs – falls von der Variante her gefordert – wurde das Papier mit der WPKN DBX1DS verwendet. Wie bei den Depots werden für die Kauf- und Verkaufsgebühren 0,1% des Wertes plus 9 € berechnet.
Zusätzlich sind noch die Ergebnisse der Varianten aufgeführt, die für die 200-Tage-Linien Strategie verwendet werden (200-Tage-Linie inklusive 3%-Toleranz).

 

Typ Bezeichnung Startwert absolut Endwert absolut Rendite absolut [%] Rendite jährlich [%]
           
1a GD 200 – GD 38 ohne Short 20.000,00 € 29.692,43 € 48,46% 5,81%
1b GD 200 – GD 38 mit Short 20.000,00 € 25.841,03 € 29,21% 3,73%
2a GD 200 – GD 50 ohne Short 20.000,00 € 30.625,32 € 53,13% 6,28%
2b GD 200 – GD 50 mit Short 20.000,00 € 27.999,59 € 40,00% 4,92%
3a GD 200 – GD 65 ohne Short 20.000,00 € 32.431,91 € 62,16% 7,15%
3b GD 200 – GD 65 mit Short 20.000,00 € 31.763,34 € 58,82% 6,83%
4a GD 200 – GD 90 ohne Short 20.000,00 € 30.610,34 € 53,05% 6,27%
4b GD 200 – GD 90 mit Short 20.000,00 € 28.205,52 € 41,03% 5,03%
5 DAX Buy-and-Hold 6614,73 9552,16 44,41% 5,39%
6a mit 3%-Toleranz ohne Short 20.000,00 € 34.389,76 € 71,95% 8,05%
6b mit 3%-Toleranz inkl. Short 20.000,00 € 38.490,90 € 92,45% 9,80%

Zwei Punkte fallen sofort ins Auge:

  • Bei der Verwendung zweier gleitender Durchschnitte schneiden alle Varianten mit Short-Anteil schlechter ab als die Varianten mit reinem Long-Anteil (im Gegensatz zur Standard 200-Tage-Linien Strategie mit 3%-Toleranz).
  • Am besten schneidet die Kombination aus 200-Tage-Linie und 65-Tage-Linie ab, aber auch diese Spielart erreicht nicht die Rendite der Standard 200-Tage-Linien Strategie mit 3%-Toleranz.

 

Typ Bezeichnung Anzahl Käufe Anzahl Verkäufe Anteil Tage Long [%] Anteil Tage Short [%] Anteil Tage nicht investiert [%]
             
1a GD 200 – GD 38 ohne Short 3 2 56,84% 0,00% 43,16%
1b GD 200 – GD 38 mit Short 3 3 56,84% 27,97% 15,19%
2a GD 200 – GD 50 ohne Short 3 2 56,45% 0,00% 43,55%
2b GD 200 – GD 50 mit Short 3 3 56,45% 28,42% 15,13%
3a GD 200 – GD 65 ohne Short 3 2 55,44% 0,00% 43,44%
3b GD 200 – GD 65 mit Short 3 3 55,44% 28,14% 15,30%
4a GD 200 – GD 90 ohne Short 2 1 55,83% 0,00% 44,11%
4b GD 200 – GD 90 mit Short 2 2 55,83% 28,48% 15,64%
5a mit 3%-Toleranz ohne Short 3 2 57,34% 0,00% 42,66%
5b mit 3%-Toleranz inkl. Short 3 3 57,34% 27,91% 14,74%

Auch bezogen auf die Anzahl der Kauf- und Verkaufssignale bieten die Modifikationen keine Optimierung, zumindest in Bezug auf die 200-Tage-Linien Strategie mit Toleranz.

Tendenziell kommt auch ein Performance-Test der FAZ.net im Artikel “Gleitende Durchschnitte helfen dabei den Markt zu schlagen” zu ähnlichen Ergebnissen.
Zu beachten ist, dass in dem Test der Bezugsindex der S&P 500 ist, und dass die 200-Tages-Linien Strategie ohne Toleranz getestet wurde.

Zuletzt soll noch ein Blick auf einen verkürzten 4-Jahres Zeitraum (2010 bis 2013) geworfen werden, in dem kein Bärenmarkt auftrat.

Typ Bezeichnung Startwert absolut Endwert absolut Rendite absolut [%] Rendite jährlich [%]
           
1a GD 200 – GD 38 ohne Short 20.000,00 € 26.123,25 € 30,62% 6,91%
1b GD 200 – GD 38 mit Short 20.000,00 € 19.322,72 € -3,39% -0,86%
2a GD 200 – GD 50 ohne Short 20.000,00 € 25.453,16 € 27,27% 6,21%
2b GD 200 – GD 50 mit Short 20.000,00 € 18.332,26 € -8,34% -2,15%
3a GD 200 – GD 65 ohne Short 20.000,00 € 26.479,97 € 32,40% 7,27%
3b GD 200 – GD 65 mit Short 20.000,00 € 20.598,80 € 2,99% 0,74%
4a GD 200 – GD 90 ohne Short 20.000,00 € 26.746,07 € 33,73% 7,54%
4b GD 200 – GD 90 mit Short 20.000,00 € 19.795,47 € -1,02% -0,26%
5 DAX Buy-and-Hold 5975,42 9552,16 59,86% 12,44%
6a mit 3%-Toleranz ohne Short 20.000,00 € 29.761,08 € 48,81% 10,45%
6b mit 3%-Toleranz inkl. Short 20.000,00 € 38.490,90 € 92,45% 9,80%

Die oben getroffenen Aussagen werden auch für den verkürzten Beobachtungszeitraum bestätigt.

Fazit:

Die durchgeführten Untersuchungen geben keinen Hinweis darauf, dass die Varianten mit zwei gleitenden Durchschnitten eine bessere Rendite als die vorgestellte 200-Tage-Linien Strategie ermöglichen.
Somit besteht auch kein Bedarf, eine diese Modifikationen in einem Depot umzusetzen.

Nov. 18

200-Tage-Linien-Strategie

KalenderDie 200-Tage-Linien-Strategie ist als trendfolgende Strategie der technischen Analyse zuzuordnen.

Als Signalgeber dient der einfache gleitende Durchschnitt (simple moving average) der letzten 200 Tage.

Um die Anzahl der Fehlsignale zu verringern, wird mit einem Toleranzfenster von 3% gearbeitet, da diese Variante in der “Untersuchung zur 200-Tage-Linien Strategie” die überzeugendsten Ergebnisse lieferte.

Ferner werden zwei Variationen angeboten: Einmal werden nur “Long”-Positionen eingegangen, d.h. nach Kaufsignalen ist das Depot voll mit Standard-ETFs investiert, bei Verkaufssignalen wird das Pulver in Form von Bargeld trocken gehalten. Diese Variante schneidet in Seitwärtsmärkten besser ab.
Zum anderen werden “Long” und “Short” Positionen eingegangen. Nach Kaufsignalen wird wie zuvor agiert, bei Verkaufssignalen wird in Short-ETFs investiert, deren Kurswert sich bei fallendem DAX erhöht (und umgekehrt). Diese Variante bringt in Bärenmärkten hohe Renditen.

 

Die Regeln der 200-Tage-Linie Strategie (Long)

  1. Einen Index auswählen (wir beziehen uns hier und in den Musterdepots auf den DAX-Performance-Index).
  2. Steigt der Index mindestens 3% über den gleitenden Durchschnitt der letzten 200-Tage, werden DAX-ETFs gekauft.
  3. Fällt der Index mindestens 3% unter die 200-Tage-Linie, so werden die Papiere verkauft. Bis zum nächsten Kaufsignal werden keine neuen Investitionen vorgenommen.

Die Regeln der 200-Tage-Linie Strategie (Long und Short)

  1. Einen Index auswählen (wir beziehen uns hier und in den Musterdepots auf den DAX-Performance-Index).
  2. Steigt der Index mindestens 3% über den gleitenden Durchschnitt der letzten 200-Tage, werden eventuell im Depot befindliche Short-ETFs verkauft und DAX-ETFs gekauft.
  3. Fällt der Index mindestens 3% unter die 200-Tage-Linie, so werden die Papiere verkauft. Stattdessen werden Short-ETFs auf den DAX-Performance-Index erworben.

Vor- und Nachteile der 200-Tage-Linien Strategien

Nachteile:

  • In Seitwärtsmärkten kann sich eine Reihe von Fehlsignalen bilden, die sich negativ auf die Performance niederschlagen.
  • Durch den Einsatz des gleitenden Durchschnitts über 200 Tage können die Signale erst mit Verzögerung gebildet werden.

Vorteile:

  • Die Strategie ist leicht verständlich und einfach nachzuvollziehen.
  • Die Umsetzung erfordert nur einen geringen Zeitaufwand.
  • Eine Verlustbegrenzung ist für jeden Handel in der Strategie integriert (durch die entsprechenden Verkaufssignale).
  • Durch den Einsatz von ETFs ist die Strategie auch mit kleinem Kapitaleinsatz sinnvoll (somit auch als Depotbeimischung).
  • Durch die klaren Regeln ist die Strategie frei von Emotionen.

 

Performance der Strategie

 

Auch hier gilt: Renditen aus der Vergangenheit sind keine Garantie für Renditen in der Zukunft.
Der DAX (Performance-Index inklusive Dividenden) stieg zwischen 2007 und 2013 jährlich um durchschnittlich 5,4 %. Im gleichen Zeitraum erzielte die “200-Tage-Linien”-Strategie Long (mit 3%-Toleranz) eine jährliche Rendite von 8,05 % und die “200-Tage-Linien”-Strategie Long und Short 9,8 %.

Sehen wir uns näher an, was aus 10.000 € Startkapital mit diesen Renditen geworden wäre:

 

Bezug Strategie Zeitraum Jährliche Rendite Start-kapital Kapital am Ende des Zeitraums
DAX Buy and Hold
 2007-2013  5,39% 10.000 €  14.441 €
DAX 200-Tage Long
 2007-2013  8,05% 10.000 € 17.195 €
DAX 200-Tage Long und Short
 2007-2013 9,80% 10.000 € 19.245 €

 

Nov. 16

Untersuchung zur 200-Tage-Linien Strategie

 7Jahre_DAXDiag-01
Nach “boerse.ARD.de” ist die 200-Tage-Linie das Maß aller Dinge. Sie ist ein einfaches Mittel um Trends zu erkennen, was auch ihre Bekanntheit und Beliebtheit erklärt.

Die 200-Tage-Linie ist ein “einfach gleitender Durchschnitt” (GD200 oder SMA200 für simple moving average), d.h. es wird der Mittelwert aus den letzten 200 Handelstagen gebildet.

Mit diesem gleitenden Durchschnitt läßt sich eine Anlagestrategie umsetzen:
Schneidet der Kurs des DAX die 200-Tage-Linie von unten nach oben, so wird ein Kaufsignal generiert. Umgekehrt wird ein Verkaufssignal gebildet, wenn der Kurswert die Linie von oben nach unten kreuzt.

Liegt aber kein klarer Trend vor, so können viele kurzfristige Fehlsignale auftreten. Da an der Börse immer gilt: “Hin und her macht Beutel leer”, gibt es zahlreiche Modifikationen der Strategie, um die Performance zu erhöhen.

Im weiteren Verlauf wird untersucht, wie vier Varianten der 200-Tage-Linien Strategie in der Vergangenheit abgeschnitten haben. Zudem wird jede Variante nochmals unterteilt. Zum einen wird bei einem Verkaufssignal in Bargeld umgeschichtet, zum anderen wird in diesem Fall in ein Short-ETF auf den DAX gekauft.

 

Folgende Varianten werden untersucht:

  • Standardumsetzung mit sofortigem Kauf, bzw. Verkauf bei Durchschreiten der Linie (Typ 1).
  • Ein Kaufsignal erfolgt erst nach Überschreitung der 200-Tage-Linie um 3%. Ein Verkaufssignal wird erst nach Unterschreitung um 3% wirksam (Typ 2).
  • Um ein Kaufsignal zu generieren muss die 200-Tage-Linie mindestens drei Tage in Folge überschritten bleiben. Entsprechend erfolgt ein Verkaufssignal erst, wenn die Linie mindestens drei Tage in Folge unterschritten bleibt (Typ 3).
  • Standardumsetzung mit sofortigem Kauf bei Überschreiten einer aufsteigenden 200-Tage-Linie, bzw. sofortiger Verkauf bei Unterschreiten einer absteigenden 200-Tage-Linie (Typ 4).

Der aufgeführte Vergleich bezieht sich auf den Zeitraum vom 1.01.2007 bis zum 30.12.2013. Für die Untersuchung wurde der DAX-ETF mit der Wertpapierkennnummer DBX1DA für die Umsetzung der Kaufsignale eingesetzt. Als Short-ETFs – falls von der Variante her gefordert – wurde das Papier mit der WPKN DBX1DS verwendet. Wie bei den Depots werden für die Kauf- und Verkaufsgebühren 0,1% des Wertes plus 9 € berechnet.

 

Typ Bezeichnung Startwert absolut Endwert absolut Rendite absolut [%] Rendite jährlich [%]
           
1a Standard ohne Short 20.000,00 € 32.596,67 € 62,98% 7,23%
1b Standard inkl. Short 20.000,00 € 34.606,59 € 73,03% 8,15%
2a mit 3%-Toleranz ohne Short 20.000,00 € 34.389,76 € 71,95% 8,05%
2b mit 3%-Toleranz inkl. Short 20.000,00 € 38.490,90 € 92,45% 9,80%
3a mit 3-Tage-Toleranz ohne Short 20.000,00 € 28.901,05 € 44,51% 5,40%
3b mit 3-Tage-Toleranz inkl. Short 20.000,00 € 22.696,76 € 13,48% 1,82%
4a Standard mit Auswertung der Richtung ohne Short 20.000,00 € 31.877,29 € 59,39% 6,89%
4b Standard mit Auswertung der Richtung inkl. Short 20.000,00 € 24.015,53 € 20,08% 2,65%
5 DAX Buy-and-Hold 6614,73 9552,16 44,41% 5,39%

 

Typ Bezeichnung Anzahl Käufe Anzahl Verkäufe Anteil Tage Long [%] Anteil Tage Short [%] Anteil Tage nicht investiert [%]
             
1a Standard ohne Short 11 10 57,40% 0,00% 42,60%
1b Standard inkl. Short 11 11 57,40% 27,91% 14,69%
2a mit 3%-Toleranz ohne Short 3 2 57,34% 0,00% 42,66%
2b mit 3%-Toleranz inkl. Short 3 3 57,34% 27,91% 14,74%
3a mit 3-Tage-Toleranz ohne Short 7 6 57,57% 0,00% 42,43%
3b mit 3-Tage-Toleranz inkl. Short 7 7 57,57% 27,58% 14,85%
4a Standard mit Auswertung der Richtung ohne Short 1 0 52,30% 0,00% 47,70%
4b Standard mit Auswertung der Richtung inkl. Short 1 1 52,30% 12,61% 35,09%


Die Standard-Strategie schneidet deutlich besser ab als der DAX. Eine noch bessere Rendite bringt die Strategie in Verbindung mit einer 3%-Toleranz. Statt 11 Transaktionen kommt der Anleger hier mit 3 Transaktionen über den kopmpletten Zeitraum aus.
Beide Strategien zeigen mit dem Einsatz von Short-ETFs eine bessere Performance aus als einfach nach einem Verkaufssignal das Bargeld zu halten.
Nicht überzeugen konnte die Strategie mit der 3-Tage-Toleranz, da die Anzahl der Fehlsignale deutlich höher ist als im Vergleich zur 3%-Toleranz.
Sehr wenige Transaktionen müssen bei der Strategie mit der Betrachtung der Richtung des gleitenden Durchschnitts ausgeführt werden. Allerdings kommen SIgnale dadurch auch stark verzögert, was sich vor allem im Zusammenhang mit dem Einsatz von Short-ETFs negativ bemerkbar macht.

Deutlich die Nase vorne haben die 3%-Toleranz- und die Standard-Strategie. Beide in Verbindung mit Short-ETFs.
Ein Blick auf das obige DAX-Diagramm zwischen 2007 und 2013 zeigt, dass mit der Finanzkrise 2008 ein rund 15-monatiger Bärenmarkt in die Untersuchung mit eingeht. Die Tatsache wirft die Frage auf, ob die Anlage in Short-ETFs auch ohne eine explizite Baisse befriedigend abschneidet.
Aus diesem Grund wurde zusätzlich noch das Abschneiden in den Jahren 2010 bis 2013 untersucht.

4Jahre_DAXDiag-02
In diesem Zeitraum sind deutlich Korrekturen zu erkennen wie z.B. ab Juli 2011, aber kein ausgeprägter Bärenmarkt.
In den beiden folgenden Tabellen sind die Ergebnisse aufgeführt.

Typ Bezeichnung Startwert absolut Endwert absolut Rendite absolut [%] Rendite jährlich [%]
           
1a Standard ohne Short 20.000,00 € 28.722,66 € 43,61% 9,47%
1b Standard inkl. Short 20.000,00 € 23.811,46 € 19,06% 4,46%
2a mit 3%-Toleranz ohne Short 20.000,00 € 29.761,08 € 48,81% 10,45%
2b mit 3%-Toleranz inkl. Short 20.000,00 € 25.717,97 € 28,59% 6,49%
3a mit 3-Tage-Toleranz ohne Short 20.000,00 € 25.172,35 € 25,86% 5,92%
3b mit 3-Tage-Toleranz inkl. Short 20.000,00 € 19.358,51 € -3,21% -0,81%
4a Standard mit Auswertung der Richtung ohne Short 20.000,00 € 31.877,29 € 59,39% 12,36%
4b Standard mit Auswertung der Richtung inkl. Short 20.000,00 € 31.877,29 € 59,39% 12,36%
5 DAX Buy-and-Hold 5975,42 9552,16 59,86% 12,44%

 

Typ Bezeichnung Anzahl Käufe Anzahl Verkäufe Anteil Tage Long [%] Anteil Tage Short [%] Anteil Tage nicht investiert [%]
             
1a Standard ohne Short 8 7 76,69% 0,00% 23,02%
1b Standard inkl. Short 8 8 76,69% 14,50% 8,52%
2a mit 3%-Toleranz ohne Short 3 2 76,69% 0,00% 23,31%
2b mit 3%-Toleranz inkl. Short 3 2 76,69% 14,69% 8,62%
3a mit 3-Tage-Toleranz ohne Short 6 5 76,69% 0,00% 23,31%
3b mit 3-Tage-Toleranz inkl. Short 6 5 76,69% 14,40% 8,91%
4a Standard mit Auswertung der Richtung ohne Short 1 0 91,38% 0,00% 8,62%
4b Standard mit Auswertung der Richtung inkl. Short 1 0 91,38% 0,00% 8,62%


Erneut nicht überzeugen kann die Strategie mit der 3-Tage-Toleranz, bei der für die Short-Variante sogar ein Verlust anfällt.
Die 3%-Toleranz-Strategie schneidet erneut besser ab als die Standardstrategie, wobei diesmal die Short-Varianten schlechter abschneiden, da keine Bärenmarkt im Beobachtungszeitraum vorhanden ist.
Die beste Performance liefert die Strategie mit der Auswertung der Richtung des gleitenden Durchschnitts. Durch die starke Verzögerung der Signalbildung erfolgte hier kein Verkaufsignal, was sich in dem unter Schwankungen steigenden Markt positiv auswirkte.
Dennoch wird diese Variante aus zwei Gründen nicht mit in das Depot aufgenommen:

 

1. Durch die sehr verzögerte Signalgenerierung wird bei Trendwechseln zu spät reagiert.

2. Es war ein Zufall, dass im Auswertungszeitraum relativ schnell ein Signal ausgelöst wurde.
    Unter Umständen können Jahre vergehen, ehe der Einstieg erfolgen kann.

 

Wegweisend für die 200-Tage-Linien Strategien ist die Tatsache, dass in letzterem Zeitraum die “Buy and Hold”-Strategie die beste Rendite erzielte. In unterschiedlichen Marktphasen können die Ergebnisse stark voneinander abweichen.

Im nächsten Diagramm wird die Entwicklung des Depotwertes beispielhaft an der Standard-Strategie mit Short-ETFs über den Zeitraum von 7 Jahren dargestellt.

7Jahre_DAXDiag-03b
Die Wertentwicklung kann in drei übergeordnete Bereiche eingeteilt werden:

Bereich 1: Das Depot besteht nur aus Bargeld, da noch kein Signal erzeugt wurde.

Bereich 2: Der Depotwert steigt deutlich an, da ein eindeutiger Trend vorhanden ist (2a: Abwärtstrend , 2b und 2c Aufwärtstrend.

Bereich 3: Der Depotwert schwankt, bzw. sinkt bei einem Seitwärtstrend mit vielen Signalwechseln.

 

In Summe konnte die Strategie mit der 3%-Toleranz am meisten überzeugen. Die Variante ohne Short-Anteil ist für Anleger geeignet, die von einer tendenziell positiven Entwicklung ausgehen. Die Variante mit Short-ETFs macht Sinn, wenn davon ausgegangen ist, dass Bullen- und Bärenmärkte sich häufiger abwechseln werden.

Im nächsten Artikel werden beide Strategien nochmals genau vorgestellt. Ferner werden beide Varianten in das Depot aufgenommen.

Nov. 11

Portfolio-Optimierung mit OpenOffice Calc

PuzzleIm letzten Artikel wurden Risiko und Rendite eines Portfolios mit fünf Aktien berechnet. Dabei wurden alle Aktien mit 20% gewichtet.

Zur Portfolio-Optimierung müssen – je nach persönlichem Ziel – die einzelnen Komponenten unterschiedlich gewichtet sein.
Natürlich können Sie einfach unterschiedliche Werte ausprobieren und das Ergebnis betrachten. Wirklich effektiv ist diese Methode jedoch nicht, wie folgendes Beispiel erkennen läßt:

In einer früheren Auswertung mit einem anderen Portfolio wurden alle Möglichkeiten der Gewichtung in 10%-Stufen festgelegt.

In OpenOffice Calc sieht der Aufbau folgendermaßen aus:

Gewichtung_10_Prozent_StufenIn Spalte “N” besteht das Portfolio zu 100% aus Adidas-Aktien. In Spalte “O” beträgt der Anteil der Adidas-Aktien 90%, hinzu kommen 10% Allianz-Aktien.
Um alle Varianten auszuspielen, werden mehr als 1000 Spalten benötigt. Dabei ist die Schrittweite von 10% für die praktische Umsetzung zu groß. Wollen wir eine geringere Schrittweite von beispielsweise 1% oder eine Portfolio mit mehr Einzelwerten, ist diese Art der Auswertung nicht mehr zu bewältigen.

Wesentlich geeigneter für das Arbeiten mit unterschiedlichen Gewichtungen ist die Monte-Carlo-Simulation, die bereits im Zusammenhang mit dem “Value at Risk“ erwähnt wurde.
Bei der Monte-Carlo-Simulation werden Zufallszahlen für die jeweiligen Anteile des Portfoliobestandes gebildet. Dabei muss die Bedingung erfüllt sein, dass alle Anteile zusammen 100% ergeben.
Von diesen Zufallsreihen werden nun etliche Tausende ermittelt, um eine ausreichende Anzahl an Variationen zur Verfügung zu haben.
Die Datenreihen samt Ergebnissen im Bezug auf Risiko und Rendite können danach auf die gewünschten Informationen hin gefiltert und ausgewertet werden.
Zu einem späteren Zeitpunkt werden wir diese Methode in einem separaten Artikel umsetzen.

Portfolio-Optimierung mit dem Solver

Moderne Tabellenkalkulationsprogramme wie Excel und OpenOffice Calc bieten mit dem “Solver” ein mächtiges Tool an. Der “Solver” (deutsch: Löser) ist eine erweiterte Zielwertsuche, bei der der gesuchte Wert in Abhängigkeit von mehreren Nebenbedingungen ermittelt werden kann.
In Excel steht der “Solver” als “Add-In” zur Verfügung, welches unter “Extras” / “Add-Ins” vor dem ersten Einsatz installiert werden muss.

OpenOffice Calc stellt standardmäßig einen “Solver” bei, allerdings nur für lineare Gleichungssysteme. Um alle Möglichkeiten nutzen zu können, müssen wir eine Extension für nichtlineare Gleichungssysteme nachrüsten.
Wir wollen den kostenlosen “Solver for Nonlinear Programming [Beta]” einsetzen, der hier zum Download zur Verfügung steht.

Solver_Extension_2bNach einem Klick auf den Button “Download extension” öffnet sich eine neue Seite, in der folgende Dialogbox erscheint:

Solver_Extension_3bAm einfachsten lässt sich die Installation über die Auswahl “Öffnen mit OpenOffice” durchführen. Die Extension wird automatisch in OpenOffice eingebunden.

Aufgerufen wird der “Solver” über “Extras” / “Sover”.

Solver_aufrufen_4bZum Prüfen, ob die Extension installiert wurde, gehen Sie auf “Optionen” und öffnen das Listenfeld unter “Solver Engine”. Hier müssen nun drei “Solver” zur Auswahl stehen.

Solver_aufrufen_5bWählen Sie den “DEPS Evolutionary Algorithm” aus.

Für die weiteren Ausführungen verwenden wir wieder die im letzten Artikel erstellte Datei “Portfolio_5_Aktien.ods”.
Bevor wir mit dem Solver fortfahren, müssen wir in der Tabelle “Berechnung” noch ein Feld ergänzen.

Solver_Vorrausetzung_6bEine Voraussetzung, die wir im “Solver” einsetzen, ist, dass die Summe aller Gewichtungen “1” (100%) ergibt. Diese Berechnung führen wir in der Zelle C8 aus.

Nun wollen wir den “Solver” einsetzen. Die erste Aufgabe soll die Bestimmung der größten zu erwartenden Rendite sein.
Dazu starten wir den “Solver” über “Extras” / “Sover” und machen folgende Eingaben, bzw. Vorwahlen:

Solver_max_Rendite_7b

  1. Die Zielzelle beinhaltet den Wert, den wir beeinflussen wollen. In diesem Fall ist es die Rendite.
  2. Zielwert ist das Maximum, da wir die höchste Rendite suchen.
  3. Die veränderbaren Zellen sind die jeweiligen Gewichtungen (C3:C7 oder als Name “w”), da wir wissen wollen, bei welchen Gewichtungen die höchste Rendite zu erwarten ist.
  4. Als erste Nebenbedingung definieren wir, dass die einzelnen Anteile nicht größer als “1” (100%) sein dürfen.
  5. Als zweite Nebenbedingung legen wir fest, dass die einzelnen Anteile nicht negativ sein dürfen. Prinzipiell sind auch negative Werte bis “-1” möglich. In diesem Fall würde mit Verkaufsoptionen gearbeitet. Da es zu vielen Papieren aber keine entsprechenden Verkaufsoptionen gibt, bzw. nicht jeder Zugang zu dieser Art von Wertpapieren hat, verzichten wir auf diese Variante.
  6. Als dritte Nebenbedingung wird bestimmt, dass die Summe der Gewichtungen “1” (100%) betragen muss.

 

Zur Ausgabe des Ergebnisses drücken Sie den Button “Lösen”. Der “Solver” führt die Berechnungen aus.

Solver_Loesen_8Mit “OK” wird die Berechnung abgeschlossen und Sie werden gefragt, ob Sie die Ergebnisse in Ihre Tabelle übernehmen wollen.

Solver_Loesen_9Übernehmen Sie die Daten.

Werfen wir einen Blick auf das Ergebnis:

Solver_max_Rendite_10bAls Resultat erhalten wir ein Portfolio, das zu 100% aus BMW-Aktien besteht. Das Ergebnis kann nicht wirklich überraschen, wenn wir uns daran erinnern, dass die Rendite eine lineare Funktion ist. Die höchste Rendite erzielen wir, wenn wir nur den Wert mit der höchsten Rendite einsetzen.
Aber Ziel der Portfolio-Theorie ist die Reduzierung des Risikos bei akzeptabler Rendite. Mit nur einem Titel tragen wir jedoch das komplette, unsystematische (diversifizierbare) Risiko.

Minimum-Varianz Portfolio

Als Nächstes wollen wir das Minimum-Varianz Portfolio (MVP) bestimmen. Das MVP ist das Portfolio mit dem geringsten Risiko.
Dazu öffnen wir erneut den “Solver” und ändern zwei Werte.

Solver_MVP_11bZunächst wählen wir als Zielzelle die Standardabweichung (Zelle B13). Die Varianz wäre als Zielzelle ebenfalls möglich, da Standardabweichung und Varianz in direktem Zusammenhang stehen.
Die zweite Änderung betrifft den Zielwert. Hier wählen wir “Minimum”, da der kleinste Wert gesucht wird.

Nach Lösen der Gleichung und Durchlauf aller 2000 Berechnungsschritte erhalten wir folgendes Ergebnis.

Solver_MVP_12bDurch die Änderung der Gewichtung in 0% BMW, 57,58% Beiersdorf, 2,31% Deutsche Bank, 17,03% E.ON und 23,07% SAP kann das Risiko von 8,08% auf 3,68% mehr als halbiert werden. Gleichzeitig sinkt die Rendite um weniger als ein Drittel.

Der effiziente Rand

Der effiziente Rand beschreibt die Kurve vom Minimum-Varianz Portfolio zum Portfolio mit der höchsten Rendite für die zu jedem Wert der Standardabweichung keine höhere Rendite möglich ist.
Wir wollen nun den effizienten Rand unseres Portfolios bestimmen. Dazu tragen wir einmal die Standardabweichung und die Rendite für das Portfolio mit der höchsten Rendite ein, danach die Werte des MVP.

Solver_Eff_Rand_13

Jetzt haben wir die äußeren Begrenzungen der Kurve. Weitere Punkte legen wir fest, indem wir für die Standardabweichungen 0,04 – 0,045 – 0,05 etc. bis 0,075 die höchsten Renditen berechnen.

Solver_Eff_Rand_14b

Dafür wählen wir wieder die Rendite als Zielzelle und “Maximum” als Zielwert. Als vierte Nebenbedingung fügen wir den gewünschten Sollwert der Standardabweichung hinzu. Allerdings verwenden wir nicht den Operator “=” sondern “<=”. Bei “=” wird ganz genau der Wert “0,4000000” gefordert, was u.U. zu keiner Lösung führt.
Die Berechnungen werden für alle Werte der vorgegebenen Standardabweichungen ausgeführt und die Werte in der Tabelle ergänzt.

Solver_Eff_Rand_15Den besten Überblick bietet ein Diagramm. Unter “Einfügen” / “Diagramm” wird das Streudiagramm ausgewählt. Wir erhalten folgendes Ergebnis:

Solver_Eff_Rand_16Je mehr Zwischenwerte errechnet werden, desto genauer wird die Kurve.
Allerdings läßt sich schon deutlich erkennen, dass nach dem linken Punkt (MVP) ein steiler Anstieg der Rendite erfolgt, der im weiteren Verlauf immer mehr abflacht.
Das bedeutet, dass im Bereich der Standardabweichung von 0,04 bis 0,05 ein sehr gutes Chance-Risiko Verhältnis für dieses Portfolio besteht. Danach werden kleine Renditesprünge mit deutlicher Erhöhung des Risikos erkauft.

Hinweis:

Der Artikel beschreibt nur die Möglichkeit, wie die Optimierung eines Portfolios mit dem “Solver” durchgeführt werden kann.
Wer sich der Portfolio-Theorie verschreibt, wird nie ein Portfolio aufbauen, das nur aus Werten des DAX besteht.

Bei einer größeren Anlagesumme besteht die Möglichkeit eine Diversifikation durch Aktien unterschiedlicher Branchen, Regionen und Marktkapitalisierungen. Neben der notwendigen Kapitalbasis ist hierfür auch ein entsprechender Zeitaufwand zu kalkulieren.

Einfacher und mit weniger Startkapital lässt sich ein optimiertes Portfolio mit ETFs, Index- und Themenzertifikaten und Fonds (etwas kostspieliger) umsetzen.

Je nach Risikoneigung sollten auch Anleihen mit hoher Bonität zur Senkung des Risikos eingesetzt werden.

 

Nov. 07

Portfolio-Berechnungen mit OpenOffice Calc

Stocks and SharesBisher war die Optimierung im Bezug auf Risiko und Rendite auf zwei Aktien begrenzt. In der Praxis kommen wir mit zwei Werten nicht wirklich weiter.

In diesem Artikel werden wir mittels OpenOffice Calc und den integrierten Matrix-Funktionen die Berechnung auf eine erweiterte Anzahl von Titeln erhöhen. Im konkreten Beispiel arbeiten wir mit fünf Aktien, aber mit der gleichen Vorgehensweise können wir beliebig viele Wertpapiere einbeziehen.

Die Handlungsanweisungen und Funktionen lassen sich in dieser Form auch in Excel umsetzen.

Dazu erstellen wir eine neue OpenOffice-Datei mit dem Namen “Portfolio_5_Aktien.ods”. Die Kursdaten und Renditeberechnungen kopieren wir aus der zuvor erstellten Datei “Risiko_Rendite.ods” und fügen sie in das aktuelle Projekt ein.

Kopieren_Daten_1Zur besseren Nachvollziehbarkeit geben wir dem Tabellenblatt den Namen “Daten”. Nun wenden wir uns der zweiten Tabelle zu und vergeben den Namen “Berechnung” (mit rechter Maustaste auf den Reiter klicken, “Tabelle umbenennen” wählen und neuen Namen eingeben).

Tabellenblaetter_2Um Schreibarbeit zu vermeiden, werden wir eine Funktion anwenden, die wir auch im weiteren Verlauf einsetzen werden: das Transponieren.
Wie bereits im Artikel “Ein kurzer Ausflug in die Matrix-Algebra” beschrieben, werden durch das Transponieren die Zeilen und Spalten einer Matrix vertauscht.Klingt kompliziert, ist aber mit einem Tabellenkalkulationsprogramm einfach umzusetzen:
Dazu gehen wir wieder zur ersten Tabelle (“Daten”), markieren die Zellen B2 bis F2 mit den Namen der Aktien und vergeben im oberen, linken Feld, das den Zellbereich angibt, den Namen “Aktien”.

Namen_vergeben_3bWir wechseln zur Tabelle “Berechnung” und markieren die Zellen A3 bis A7. Die Funktion zum Transponieren lautet “MTRANS”. Entsprechend müssen wir “=MTRANS(Aktien)” eingeben.

Transponieren_4WICHTIG!!!

Damit das Programm erkennt, dass es sich um eine Matrix-Formel handelt, muss die Eingabe mit “<Strg>+<Shift>+<ENTER>” abgeschlossen werden.
Anhand der geschweiften Klammer um die Formel, läßt sich erkennen, dass die Formel als Matrix verabeitet wird.

Transponieren_5bIm nächsten Schritt vergeben wir die Überschriften. In Spalte B wollen wir die erwarteten Renditen ausgeben, die häufig mit dem griechischen Buchstaben “μ” (sprich: mü) angegeben werden. Diese Bezeichnung wollen wir an dieser Stelle ebenfalls verwenden (über “Einfügen” – “Sonderzeichen”).
In Spalte C geben wir die Gewichtung der einzelnen Positionen an. Hierzu verwenden wir die Bezeichnung “w”.

 

Die zu erwartende Rendite für jede der Aktien haben wir bereits in der Tabelle “Daten” errechnet. Wir werden die Werte an dieser Stelle wieder über die Funktion “Transponieren” einlesen.
Dazu wechseln wir wieder zur Tabelle “Daten”, markieren die Renditen in den Zellen H52 bis L52 und vergeben den Namen “E_Rendite”.

Transponieren_6bIn der Tabelle “Berechnung” markieren wir die Zellen B3 bis B7, geben die bekannte Formel “=MTRANS(E_Rendite)” ein und beenden die Eingabe mit “<Strg>+<Shift>+<ENTER>”.

Transponieren_7Für die Gewichtung vergeben wir für alle Aktien den Wert 0,2, d.h. jede Aktie soll einen Anteil am Portfolio von 20% haben. Gerne können Sie auch die Ausgabe in Prozent formatieren, so dass in jedem Feld der Wert 20% erscheint. Für die Berechnung ist dies unerheblich, da 0,2 und 20% vom reinen Zahlenwert identisch sind.

Uebersicht_8Danach vergeben wir unterhalb die Bezeichnungen für die Berechnungen des Gesamtportfolios.

Uebersicht_9Zur Berechnung der erwarteten Rendite werden wieder Namen für Zellbereiche eingegeben. Zum einen werden die fünf Einzelrenditen mit “mue”, zum anderen die Gewichtungen der Aktien mit “w” bezeichnet.

Namen_vergeben_10bNamen_vergeben_11b

Berechnung der Portfolio-Rendite

Schauen wir uns beide Matrizen an, stellen wir fest, dass es sich beidesmal um eine 5×1-Matrix handelt. In unserem Ausflug in die Matrix-Algebra hatten wir aber festgestellt, dass eine 5×1-Matrix nicht mit einer 5×1-Matrix multipliziert werden kann (5x1 * 5x1 => die beiden rot dargestellten Zahlen sind ungleich, daraus folgt, dass keine Matrix-Multiplikation möglich ist).
Sehr wohl kann aber eine 5×1-Matrix mit einer 1×5-Matrix multipliziert werden (1×5 * 5×1 => die beiden grün dargestellten Zahlen sind gleich, daraus folgt, dass die Matrix-Multiplikation möglich ist).
Wie aus einer 5×1-Matrix eine 1×5-Matrix wird, ist uns in der Zwischenzeit bekannt: durch Transponieren der Matrix mittels der Funktion “MTRANS”.
Somit lautet die Formel für die erwartete Portfolio-Rendite:

E(rp) = wT * μ                   wT steht für w transponiert

In OpenOffice Calc lautet die Funktion für die Matrix-Multiplikation “MMULT”. Somit sieht die komplette Formel wie folgt aus:

=MMULT(MTRANS(w); mue)

RenditeBerechnung_12Wir erhalten einen Wert von 0,0068 (auf 4 Nachkommastellen formatiert) oder 0,68% erwartete, monatliche Rendite.

 

Berechnung der Portfolio-Varianz

Die Formel zur Berechnung der Portfolio-Varianz lautet:

Var = w^{T} Sw

Die Gewichtung “w” – auch in transponierter Form –  ist bekannt.
Neu dadegen ist “S”, die Varianz-Kovarianz-Matrix. Sie wird wie folgt berechnet:

S = \dfrac{A^{T} * A}{M - 1}

Dabei bezieht sich “A” auf die periodischen Renditen bezogen auf die mittlere Rendite.
Bei BMW beispielsweise beträgt die erwartete Rendite (mittlere Rendite) über den Beobachtungszeitraum 1,26%. Beträgt die Rendite für eine Periode 2,26%, so wäre der Wert bezogen auf die mittlere Rendite 1 % (2,26% – 1,26%). Liegt die periodische Rendite unter der mittleren Rendite, ist der Wert negativ. Wäre die Rendite einer Periode 0,26%, ergibt sich ein Wert von -1% (0,26% – 1,26%).

Zur Umsetzung kopieren wir die Überschriften der Zellen H bis L , fügen sie im Bereich N bis R ein und ändern den Text der zellübergreifenden Überschrift auf “monatliche Rendite bezogen auf den Mittelwert”.

RelativeRendite_13bDanach markieren wir alle Datenzellen der monatlichen Renditen von H3 bis L49 und vergeben für den Bereich den Namen “P_Rendite” (periodische Renditen).

RelativeRendite_14bZur Berechnung der Renditen bezogen auf den Mittelwert setzen wir wieder die Matrix-Algebra ein. Dazu markieren wir die Zellen N3:R49 und subtrahieren von den periodischen Renditen (P_Rendite) die erwartete (mittlere) Rendite, die wir bereits zuvor mit “E_Rendite” bezeichnet haben.

RelativeRendite_16bSomit lautet die Formel für unsere Berechnung:

RelativeRendite_15bDa es sich um eine Matrix-Berechnung handelt, muss die Formel mit “<Strg>+<Shift>+<ENTER>” abgeschlossen werden.

Anschließend vergeben wir für den gesamten Bereich den Namen “A”.

RelativeRendite_17bWerfen wir noch einmal einen Blick auf die Formel der Varianz-Kovarianz-Matrix S:

S = \dfrac{A^{T} * A}{M - 1}

Es ist nur noch “M – 1” offen. “M” ist die Anzahl der beobachteten periodischen Renditen, in unserem Fall 47 (H3:H49). Somit ergibt M – 1 = 46.
Diesen Wert tragen wir in unsere Tabelle “Berechnungen” ein und vergeben für die Zelle F1 den Namen “Perioden”.

Anzahl_Werte_18bNun sind wir in der Lage die Varianz-Kovarianz-Matrix S zu erstellen.
Wir kopieren die Bezeichnungen der Aktien in Spalte A und fügen sie in Spalte G ein.

Var_Covar_20bNun müssen die Bezeichnungen noch in Zeile 2 eingefügt werden.
Spalten in Zeilen können wir einfach durch Transponieren einfügen. An dieser Stelle möchte ich eine zweite Möglichkeit zum Transponieren zeigen:

  • Kopieren Sie die Zellen G3 bis G7
  • Markieren Sie die Zellen H2 bis L2
  • Drücken Sie die rechte Maustaste und wählen “Inhalte einfügen” aus.
  • Var_Covar_19bWählen Sie die Option “Transponieren” und bestätigen mit “OK”.

Die Aktiennamen werden nun in die Zeile übernommen.

Var_Covar_21Jetzt müssen wir die Matrix nach der oben erwähnten Formel mit Inhalten füllen:

Var_Covar_22Wir führen eine Matrixmultiplikation mit “A” transponiert und “A” durch und teilen das Ergebnis durch die Anzahl der Werte minus 1 (=Perioden). Nach “<Strg>+<Shift>+<ENTER>” sieht das Ergebnis wie folgt aus:

Var_Covar_23bWir können einfach überprüfen, ob unsere Berechnungen korrekt waren. Die farblich gekennzeichneten Werte müssen den Varianzen entsprechen, die wir in der Tabelle “Daten” errechnet haben:

Var_Covar_24bIn diesem Fall stimmen die Ergebnisse überein.

Somit stehen wir kurz vor dem Ziel. Wir müssen für die Varianz-Kovarianz-Matrix (H3:L7) noch den Namen “S” vergeben, ehe wir uns der Varianz des Gesamtportfolios zuwenden können.

Die Formel war:

Var = w^{T} Sw


Im Gegensatz zu einer üblichen Zahlenmultiplikation läßt sich eine Matrix-Multiplikation nicht in der Form A*B*C durchführen. Stattdessen müssen zwei Multiplikationen nacheinander ausgeführt werden:
Die erste Multiplikation innerhalb der Klammer ist “MMULT(MTRANS(w); S)”.
In der zweiten wird obige Multiplikation nochmals mit “w” multipliziert, wodurch der komplette Ausdruck lautet:

“=MMULT(MMULT(MTRANS(w); S); w)”

Wie immer bei einer Matrix-Funktion muss die Eingabe mit “<Strg>+<Shift>+<ENTER>” beendet werden.

Varianz_25Die Standardabweichung unseres Portfolios ist die Wurzel der Varianz.

Standardabweichung_26Wir sind nun in der Lage die erwartete Rendite und die Standardabweichung eines Portfolios aus mehr als zwei Aktien zu berechnen.
Sie können nun ein wenig experimentieren, welche Änderungen sich bei unterschiedlichen Gewichtungen “w” ergeben.

Im nächsten Artikel werden wir darauf eingehen, wie die Gewichtungen für ein optimales Portfolio mit den vorgegebenen Werten errechnet werden können.

 

Nov. 02

Ein kurzer Ausflug in die Matrix-Algebra

Atomic MatrixZuletzt haben wir nur Portfolios mit zwei Aktien untersucht. Um das unsystematische (oder diversifizierbare) Risiko weitgehend auszuschließen, reichen zwei Werte definitiv nicht aus.

Wollen wir aber die bisher eingesetzten Berechnungen auf ein Portfolio von fünf oder gar zehn Aktien erweitern, stoßen wir auf Grenzen. Zwar ist die Berechnung prinzipiell möglich, doch nehmen die Formeln immer monströsere Ausmaße an.

Mit Hilfe der Matrix-Algebra lassen sich die Berechnungen wesentlich einfacher und eleganter durchführen.

Da im nächsten Tutorial die Matrix-Algebra eingesetzt wird, erfolgt in diesem Artikel eine kurze Einführung in die Materie.

Sie können dieses Kapitel gerne überspringen und die spätere Vorgehensweise einfach kopieren. Falls Sie aber den Vorgang nachvollziehen wollen, empfehle ich Ihnen weiterzulesen.

Einführung in die Matrix-Algebra

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von reellen Zahlen, die entsprechend ihrer Größe als “m x n“ (sprich m mal n) – Matrix bezeichnet wird. Dabei gilt:

m = Anzahl der Zeilen

n = Anzahl der Spalten

Die einfachste Form ist uns allen gut bekannt. Die “1 x 1”-Matrizen (auch als Skalare bezeichnet) sind reelle Zahlen, mit denen wir im alltäglichen Leben rechnen.

Weiter Sonderformen sind:

Die “m x 1”-Matrix, der sogenannte Spaltenvektor  \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}

Die “1 x n”-Matrix, der sogenannte Zeilenvektor    \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\end{bmatrix}

Eine zweidimensionale Matrix A, z.B. in Form einer “3 x 2”-Matrix, sieht wie folgt aus:

A =\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6\end{bmatrix}

Die transponierte Matrix

Eine Matrix deren Zeilen und Spalten vertauscht wurden, wird als transponierte Matrix bezeichnet.
Aus der oben verwendeten “3 x 2”-Matrix wird somit eine “2 x 3”-Matrix:

A =\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6\end{bmatrix} => A^T =\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\end{bmatrix}

Das Transponieren einer Matrix werden wir für unsere Portfolio-Berechnungen desöfteren einsetzen.

Die Addition von Matrizen

Eine Matrizen-Addition läßt sich nur ausführen, wenn die Dimensionen der zu addierenden Matrizen gleich groß sind. Eine “3 x 2”-Matrix kann nur mit einer “3 x 2”-Matrix addiert werden.

A =\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6\end{bmatrix} B =\begin{bmatrix} 11 & 14\\ 12 & 15\\ 13 & 17\end{bmatrix}   A+B =\begin{bmatrix} 1+11 & 4+14\\ 2+12 & 5+15\\ 3+13 & 6+16\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 12 & 18\\ 14 & 20\\ 16 & 22\end{bmatrix}

Für die Subtraktion von Matrizen gelten die selben Regeln.

Die Multiplikation von Matrizen

Die Multiplikation von 3 Äpfeln * 2 Birnen ergibt nicht 6 Apfelbirnen. Diese Multiplikation macht keinen Sinn. Haben wir aber 3 Kisten mit jeweils 3 Äpfeln und 2 Birnen, können wir eine Multiplikation in Form von 3 * 3 Äpfeln = 9 Äpfeln, sowie 3 * 2 Birnen = 6 Birnen durchführen.

Auch die Multiplikation von Matrizen macht nur Sinn, wenn gewisse Bedingungen erfüllt sind. Lassen Sie uns zwei Matrizen multiplizieren:

“m1 x n1” * “m2 x n2“

Matrix 1 hat m1 Zeilen und n1 Spalten, Matrix 2 hat m2 Zeilen und n2 Spalten.
Eine Multiplikation ist unter der Bedingung möglich, dass n1 = m2, d.h. die Anzahl der Spalten in Matrix 1 muss gleich der Anzahl der Zeilen in Matrix 2 sein.
Ferner gibt m1 die Anzahl der Zeilen und n2 die Anzahl der Spalten des Ergebnisses aus.
Dazu drei Beispiele:

A =\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\end{bmatrix} und B =\begin{bmatrix} 1\\ 2\end{bmatrix}

“1 x 3” * “2 x 1″

Matrix 1 hat 3 Spalten, während Matrix 2 nur 2 Spalten hat. Eine Multiplikation ist nicht möglich.

A =\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\end{bmatrix} und B =\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}

“1 x 3” * “3 x 1″

Matrix 1 hat 3 Spalten und Matrix 2 hat 3 Zeilen, somit ist eine Multiplikation möglich. Das Ergebnis ist eine “1 x 1”-Matrix.

A =\begin{bmatrix} 1 & 2\end{bmatrix} und B =\begin{bmatrix} 3 & 5\\ 4 & 6\end{bmatrix}

“1 x 2” * “2 x 2″

Matrix 1 hat 2 Spalten und Matrix 2 hat 2 Zeilen, somit ist eine Multiplikation möglich. Das Ergebnis ist eine “1 x 2”-Matrix.

Wann wir multiplizieren können ist nun bekannt. Stellt sich die Frage nach dem “Wie”.
Dazu verwenden wir die beiden Beispiele, bei denen die Rechnung möglich ist:

A =\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\end{bmatrix} und B =\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{bmatrix} =>  A * B =\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1*1 + 2*2 + 3*3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 14\end{bmatrix}

Der erste Wert des Zeilenvektors A wird mit dem ersten Wert des Spaltenvektors B multipliziert, anschließend der zweite Wert von A mit dem zweiten Wert von B und der dritte Wert von A mit dem dritten Wert von B. Die einzelnen Ergebnisse werden addiert.

A =\begin{bmatrix} 1 & 2\end{bmatrix} und B =\begin{bmatrix} 3 & 5\\ 4 & 6\end{bmatrix} => A * B =\begin{bmatrix} 1 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 5\\ 4 & 6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1*3 + 2*4 & 1*5 + 2*6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 11 &17\end{bmatrix}

Der erste Wert der Matrix A wird mit jedem Wert der Spalte 1 von Matrix B multipliziert, die Ergebnisse werden addiert und bilden den Wert der Spalte 1.Der zweite Wert der Matrix A wird mit jedem Wert der Spalte 2 von Matrix B multipliziert, die Ergebnisse werden addiert und bilden den Wert der Spalte 2.

Mit diesen Informationen sind wir gerüstet, die Portfolio-Berechnungen in der Praxis durchzuführen.

Okt. 26

Risiko-Rendite-Diagramme mit OpenOffice Calc

CurvesNachdem wir zuletzt die Rendite, Varianz, Standardabweichung und Korrelation verschiedener Wertpapiere berechnet haben, wollen wir in diesem Artikel “Risiko-Rendite”-Diagramme erstellen.

Als Grundlage verwenden wir wieder die OpenOffice Calc-Datei “Risiko_Rendite.ods”, die im Artikel “Korrelation mit OpenOffice Calc berechnen” erstellt wurde.

Das Risiko-Rendite-Diagramm wird mit zwei Aktienpaaren erstellt. Wir wollen mit der Paarung BMW ST – SAP beginnen, die die höchste Korrelation aufweist. Anschließend wollen wir uns Beiersdorf – E.On zuwenden. Dieses Paar weist die geringste Korrelation auf.

Zuerst vergeben wir Überschriften für zwei Spalten. In der ersten Spalte werden die Gewichtungen für die BMW-Aktie, in der zweiten Spalte die Gewichtungen für die SAP-Aktie eingetragen.

Gewichtung_1bUnterhalb der Bezeichnungen werden beide Spalten zur besseren Übersichtlichkeit als Prozentangaben mit zwei Nachkommastellen formatiert.

Wir setzen für die Gewichtung 5%-Schritte ein, d.h. der erste Wert der BMW-Aktie ist 0,00%, der zweite Wert 5,00%. Nun markieren wir beide Zellen, gehen mit der Maus auf das kleine, schwarze Quadrat (der Mauszeiger verwandelt sich dabei in ein “+”) und ziehen die Maus bei gedrückter linker Maustaste nach unten bis 100% erreicht werden.

Bei der SAP-Aktie starten wir mit 100%, da die Summe beider Anteile im Portfolio 100% sein muss. Der zweite Wert ist 95%. Danach können wir wieder beide Werte markieren und über das schwarze Quadrat die Wert bis 0% übernehmen. Diese Vorgehensweise läßt auch ohne große Schreibarbeit kleinere Schritte, z.B. im 1%-Bereich zu.

Das Ergebnis sieht nun wie folgt aus:

Gewichtung_3Zur Erstellung des Risiko-Rendite-Diagramms sind zwei weitere Spalten erforderlich. Sinnigerweise das Risiko in Form der Standardabweichung und die Rendite in Form des Mittelwertes der periodischen Renditen.

Risiko_Rendite_4Beginnen wollen wir mit dem einfacheren Teil – der Rendite. Die Rendite ist eine lineare Funktion. Ist die Gewichtung beider Aktien beispielweise 50%, so wird 0,5 mal die Rendite der BMW-Aktie berechnet plus 0,5 mal die Rendite der SAP-Aktie. Bei einem Verhältnis von 10% zu 90% wird 0,1 mal die Rendite von BMW plus 0,9 mal die Rendite von SAP berechnet.
In OpenOffice Calc sieht die Funktion wie folgt aus:

Rendite_5bIn der Formel stehen die Zellen “N5” und “O5” für die Gewichtungen beider Aktienanteile, die Zellen “H52” und “L52” für die mittleren monatlichen Renditen von BMW bzw. SAP.
Da die Gewichtung bei 100% SAP-Anteile liegt, entspricht die Rendite derjenigen der SAP-Aktie.
Für die Ausgabe der Renditen mit den weiteren Gewichtungen müssen wir in die Formel noch etwas bearbeiten. Durch ein “$”-Zeichen vor den Zeilennummern der mittleren, monatlichen Renditen stellen wir sicher, dass immer auf die selbe Zelle zugegriffen wird:
Die Formel hat nun folgenden Inhalt: “=N5*H$52+O5*L$52”.
Jetzt verwenden wir wieder das schwarze Quadrat der markierten, ersten Zelle der Renditeberechung und ziehen es bis zum Ende der Berechnungen.
Die zweite Zelle hat somit folgendes Aussehen:

Rendite_6bDie Gewichtungen werden für die Folgezeilen übernommen, während der Bezug zur Rendite der beiden Wertpapiere gleich bleibt.

Die Formel der Standardabweichung für ein Portfolio aus zwei oder mehr Aktien ist etwas umfangreicher, da keine Linearität zwischen den einzelnen Standardabweichungen besteht (mit einer Ausnahme: Korrelation=1).
Was sich zunächst negativ anhört, ist auf den zweiten Blick ein Glücksfall. Denn nur Dank dieser Tatsache läßt sich das Risiko eines Portfolios bei gleicher Rendite verringern.
Zur Berechnung der Standardabweichung müssen wir den Umweg über die Varianz gehen. Die Formel für den Fall mit zwei Aktien lautet:

Varp = x12 * σ12 + x22 * σ22 + 2 * x1 * x2 * σ1 * σ2 * ρ1,2

Dabei ist

x1, x2 : Gewichtung Aktie 1 und Aktie 2 [0..1]

σ1, σ2 : Standardabweichung Aktie 1 und Aktie 2

ρ1,2 : Korrelation der beiden Aktien [-1..1]

Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz. In OpenOffice Calc sieht die Formel folgendermaßen aus:

Risiko_7bN5 und O5 sind die Gewichtungen, H54 und L54 die Standardabweichungen und L57 die Korrelation zwischen der BMW- und der SAP-Aktie.
Jetzt werden wir die Formel wieder mit Konstanten versehen, um die Funktionen für die weiteren Zellen übernehmen zu können. Nicht verändert werden dürfen die Standardabweichungen und die Korrelation:

=WURZEL(N5^2*H$54^2+O5^2*L$54^2+2*N5*O5*H$54*L$54*L$57)

Nach Übernahme der Funktionen über das schwarze Quadrat sehen die Daten wie folgt aus:

Risiko_Rendite_8Zur besseren Nachvollziebarkeit der Berechnungen sehen Sie nachfolgend noch einen Auszug aus der Tabelle. Durch einen Klick auf die Grafik wird diese vergrößert.

Risiko_Rendite_9

Bild “Berechnungsergebnisse”

Im nächsten Schritt erstellen wir das Diagramm. Dazu markieren wir die Datenfelder der Standardabweichung und der Rendite inklusive der Überschriften und wählen im Menü “Einfügen” – “Diagramm”.

Diag_10b

Es öffnet sich der Diagramm-Assistent, in dem wir folgende Auswahlen treffen:
Als Diagrammtyp verwenden wir das “XY-Streudiagramm” mit Punkten, wobei Sie gerne auch Punke und Linien oder nur Linien auswählen können.

Diag_11bÜber den “Weiter>>”-Button kommen wir zum Datenbereich. Hier wählen wir “Datenreihen in Spalten” aus.

Diag_12Die Eingaben zum Punkt “Datenreihen” können wir beibehalten.

Diag_13Zuletzt können wir Titel, Untertitel und Legenden beschriften und bei Bedarf die gewünschten Gitter anzeigen.

Diag_14Das Diagramm sieht dann in der Weise aus:

Diag_15Einiges an Arbeit können wir uns bei der Erstellung des zweiten Diagramms sparen, indem wir die Zellen, die wir für das erste Diagramm verwendet haben, kopieren und unterhalb einfügen.
Danach ersetzen wir BMW ST durch Beiersdorf und SAP durch E.ON.

 

Risiko_Rendite_16bWerfen wir nun einen Blick auf die Risikokomponente, sprich: die Standardabweichung.

Risiko_Rendite_17bFür die Gewichtung sind schon die korrekten Zellen mit “N31” und “O31” übernommen worden. Aber “H$54” weist auf die Standardabweichung von BMW, die durch die Standardabweichung von Beiersdorf (“I$54”)  ersetzt werden muss. Gleiches gilt für “L$54” (Standardabweichung von SAP). Dieser Verweis muss auf “K$54” (Standardabweichung E.ON) lauten.

Zuletzt muss die Korrelation “L$57” (Korrelation zwischen BMW SAP) durch die Korrelation zwischen Beiersdorf und E.ON (“K$58”) ersetzt werden.
Die Formel der Bearbeitungsleiste sieht nun folgendermaßen aus:

=WURZEL(N31^2*I$54^2+O31^2*K$54^2+2*N31*O31*I$54*K$54*K$58)

Zum besseren Verständnis der Zellbezüge werfen Sie bitte nochmals einen Blick auf das Bild “Berechnungsergebnisse” weiter oben.

Das gleiche Spiel wiederholen wir für die Rendite:

Risiko_Rendite_18bHier müssen wir lediglich die monatliche Rendite von BMW (“H$52”) durch die von Beiersdorf (“I$52”) und die Rendite von SAP (“L$52”) durch die von E.ON (“K$52”) ersetzen:

=N31*I$52+O31*K$52

Nun markieren wir die beiden überarbeiteten Zellen und übernehmen die Daten für die weiteren Felder (schwarzes Quadrat).

Diag_19Über “Einfügen” – “Diagramm” geben wir das Diagramm mit den Einstellungen von oben aus. Lediglich der Untertitel muss angepaßt werden, da wir ein anderes Aktienpaar verwenden.

Diag_20Von den fünf Aktien, deren Kurse wir eingelesen haben, können wir im Moment immer nur zwei Aktien im Bezug auf Risiko und Rendite untersuchen. Im nächsten Artikel wollen wir das Portfolio mit allen fünf Aktien überprüfen.

Okt. 19

Autokredit

Finanzierungsmöglichkeiten beim Kauf eines Autos

 

Neben einem Kredit werden Leasingverträge immer beliebter. Vor allem werden Leasingverträge weitaus einfacher vergeben als Kredite. Zwar wird auch hier auf das Einkommen und die Schufa geachtet. Dennoch werden Zusagen für ein Leasing weitaus rascher vergeben als für andere Darlehen. Wer sich ein Auto mittels Leasing finanzieren möchte, der sollte bedenken, dass es sich im Grunde genommen um eine Miete handelt. Monatlich werden die vereinbarten Raten zurückerstattet und am Ende des Leasingvertrages wird dann noch der Restwert bezahlt.

Mehr zu diesem Thema im kostenlosen E-Book Autokredit bei www.kreditzentrale.com.

Wie finanzieren sich Selbstständige ihre Fahrzeuge?

Für Selbstständige ist es oftmals schwieriger einen Kredit zu bekommen. Zwar stimmt das monatlich Einkommen in den meisten Fällen, den Banken ist allerdings die wirtschaftliche Lage oftmals nicht sicher genug. Immerhin können private Unternehmen und Firmen von heute auf morgen rote Zahlen schreiben. Der Autokredit für Selbständige gestaltet sich demnach in den meisten Fällen durchaus schwierig. Das ist mitunter auch ein Grund weswegen Selbstständige immer wieder auf das Leasing zurückgreifen. So können Fahrzeuge vorfinanziert werden. Ebenso ergibt sich bei einem Leasingvertrag auch eine steuerliche Entlastung, welche sich bei der Barzahlung eines Wagens nicht ergeben würde.

Okt. 18

Korrelation mit OpenOffice Calc berechnen

AbacusIn diesem Artikel wird die Korrelation zwischen 5 Aktien unterschiedlicher Branchen des DAX-Index’ berechnet.

Eingesetzt wird das kostenlose Open Source Tabellenkalkulationsprogramm “OpenOffice Calc”.

Unter Excel sind die Funktionen und Berechnungen identisch. Lediglich das Handling kann sich unterscheiden.

Die Daten und Tabellen werden auch als Grundlage zur Portfoliooptimierung dienen, die im Nachfolgeartikel vorgestellt wird.

Die Berechnung der Korrelation erfolgt in vier Schritten:

 

  1. Die Kursdaten der Aktien beschaffen und in Tabelle integrieren.
  2. Die Renditen der einzelnen Perioden berechnen.
  3. Die zu erwartende Rendite, die Varianz und die Standardabweichung berechnen.
  4. Die Korrelationen zwischen den einzelnen Werten berechnen.

Folgende fünf Aktien werden für die Berechnungen verwendet:

  • BMW ST als zyklischer Automobiltitel
  • Beiersdorf als Konsumwert
  • Die Deutsche Bank als Finanz- /Bankwert
  • E.ON als Versorger
  • SAP als Softwaretitel

Kursdaten der Aktien

In diesem Beispiel werden wir den Zeitraum der letzten vier Jahre zur Berechnung verwenden. Dazu reichen die monatlichen Schlußkurse der einzelnen Wertpapiere aus.
Prinzipiell wäre es ohne sehr großen Mehraufwand auch möglich, die Wochen- oder Tagesschlußkurse zu verwenden. Statt 48 Datenreihen müssten dann  208 bzw. über 1000 Werte importiert werden.

Während bei Tagesschlußkursen eine große Auswahl an Portalen vorhanden ist, die es ermöglicht, die Daten im “csv”-Format herunterzuladen (beispielsweise Onvista oder Ariva ), ist das Angebot bei den Wochen- und Monatsschlußkursen deutlich eingeschränkt. Wir werden diese Daten von Yahoo Finance Deutschland beziehen.

 

Am Beispiel unserer ersten Aktie BMW ST (WKN 519000) sieht das wie folgt aus:

Symb_BMW_01Leider ist bei Yahoo Finance nur die Suche über das Symbol möglich. Wertpapierkennnummer oder ISIN werden als Eingabe nicht akzeptiert. Doch üblicherweise ist es durch die Eingabe der ersten Buchstaben des Namens und dem sich öffnenden Auswahlfensters relativ einfach, die gewünschte Aktie zu finden. Sollte es in Ausnahmefällen nicht zum Erfolg finden, bietet sich als Hilfe das Wallstreet-Online Portal an. Hier können Sie die Aktie auf die übliche Art und Weise suchen und erhalten zusätzlich die Angabe des Symbols:

In unserem Beispiel öffnet sich nach Eingabe von “BMW” nebenstehendes Auswahlfenster, in dem wir “BMW.DE” für den XETRA-Kurs selektieren oder das Symbol eintragen und den Button “Kurs abfragen” betätigen.
Neben dem Namen des Wertpapiers und des Symbols wird auch die WKN und ISIN angezeigt, so dass Sie überprüfen könne, ob Sie auch die korrekte Auswahl getroffen haben.

Hist_Kurse_BMW_02

Wir befinden uns nun auf der Übersichtsseite der Aktie. Zu den Kursdaten gelangen wir über die Auswahl “Historische Kurse” im linken Menüfeld.

Wir können nun festlegen, welche Kursdaten wir verwenden wollen. In unserem Fall ist dies “Monatlich”, da wir nur ein Kurs pro Monat einsetzen. Dazu kommt der Zeitraum vom 1.11.2010 bis zum 1.10.2014 (bei monatlichen Daten gibt Yahoo immer den ersten Tag eines Monats an).


Hist_Kurse_BMW_03Mit einem Klick auf “Preise abrufen” werden die gewünschten Daten darunter angezeigt:

Hist_Kurse_BMW_04Am Ende der Auflistung können die Daten über “Aufbereitet für Tabellenkalkulationsprogramm” exportiert werden. Damit speichern wir die Datei als BMW.csv.

Zur Bearbeitung der Daten wird ein OpenOffice Calc-Datei namens Risiko_Rendite.ods erstellt. In Tabelle werden folgende Felder vorbereitet:

Hist_Kurse_BMW_08Danach wird die Kursdatei BMW.csv mit der rechten Maustaste ausgewählt und geöffnet mit OpenOffice Calc.

Hist_Kurse_BMW_06Die Textimport-Maske öffnet sich. Da Yahoo die Daten im US-amerikanischen Format bereitstellt, sind einige Einstellungen vorzunehmen:

Hist_Kurse_BMW_07bZum einen ist die Sprache auf “Englisch (USA)” einzustellen, damit der Dezimalpunkt in ein Dezimalkomma gewandelt wird. Desweiteren ist das Trennzeichen von “Semikolon” auf “Komma” umzustellen. Zuletzt muss die erste Spalte als Datum im Format “JMT” (Jahr-Monat-Tag) definiert werden.
Mit dem “OK”-Button wird das OpenOffice-Dokument geöffnet, das in den ersten Zeilen wie folgt aussehen sollte:

Hist_Kurse_BMW_09Insgesamt werden 7 Spalten ausgegeben. Das Datum (Date), der Eröffnungskurs (Open), der Höchstkurs (High), der Tiefstkurs (Low), der Schlusskurs (Close), das Handelsvolumen (Volume) und der “bereinigte” Schlusskurs (Adjusted Close).
Letzterer berücksichtigt Dividenden und Aktiensplits. Dabei entsprechen die aktuellen Kurse den tatsächlichen Kursen, während die Kurse vor Dividenden oder Splits angepaßt werden.

Nun markieren wir die Zellen A2 bis A49, kopieren sie und fügen sie in unsere Arbeitsdatei Risiko_Rendite.ods ab Zelle A3 ein (Zelle A3 markieren und mit rechter Maustaste einfügen). Mit dem “bereinigten Schlusskurs verfahren wir identisch, d.h. wir markieren die Zellen G2 bis G49 und fügen sie ab Zeile B3 ein.
Das Ergebnis sieht wie folgt aus:

Hist_Kurse_BMW_10Auf die gleiche Weise gehen wir nun für die Kursdaten von Beiersdorf (Symbol: BEI.DE), der Deutschen Bank (DBK.DE), E.ON (EOAN.DE) und SAP (SAP.DE) vor. Allerdings reicht es nun aus, die “bereinigten” Schlusskurse der einzelnen Titel zu kopieren und in unsere Arbeitsdatei einzufügen, da wir die Datumsfelder (welche ja für alle Werte gleich sind) bereits aus der BMW.csv heraus integriert haben.

Nun wollen wir die Daten noch etwas freundlicher darstellen. Dazu markieren wir alle Kursfelder, wählen mit der rechten Maustaste “Zellen formatieren” und selektieren “Währung”.

Hist_Kurse_alle_12

Hinweis: Durch Anklicken kann die nebenstehende Grafik vergrößert werden (mit dem “Zurück”-Button des Browers kann zum Artikel zurückgekehrt werden).

Berechnung der monatlichen Renditen

Die Formel für die Rendite einer Periode lautet:

r_{t} = \dfrac {(P_{t} - P_{t-1}) + D_{t}} {P_{t-1}} = \dfrac {P_{t} + D_{t}} {P_{t-1}}-1

Wobei Pt der aktuelle Kurs und Pt-1 der Kurs der Vorperiode ist. Dt ist die Dividende in der aktuellen Periode.
Beispiel: Der aktuelle Kurs beträgt 105 €, der Kurs vor einem Monat betrug 100 € und im laufenden Monat wurde ein Dividende von 5 € ausgeschüttet:

r_{t} = \dfrac {(105 - 100) + 5} {100} = \dfrac {10} {100} = 0,1 = 10\%

oder

r_{t} = \dfrac {105 + 5} {100}-1 = \dfrac {110} {100}-1= 0,1 = 10\%

Da wir mit “bereinigten” Kursen arbeiten, sind Dividenden bereits in den Zahlen verarbeitet. Somit läßt sich die Berechnung vereinfachen.

Rendite_13bStatt “=(B3-B4)/B4” kann gleichwertig “=B3/B4-1” verwendet werden.

Rendite_14bDie Berechnungen müssen nun nicht per Hand für alle Werte eingetragen werden. Wir markieren die Zelle H3 und gehen mit der Maus auf das kleine, schwarze Quadrat an der rechten, unteren Ecke. Der Mauszeiger verwandelt sich in ein “+”. Jetzt ziehen wir die Maus mit gedrückter, linker Maustaste bis zur Zelle L3.
Die Berechnungen werden damit für die anderen Zellen übernommen.

Rendite_15bZur Vervollständigung der restlichen Berechnungen markieren wir die Zellen H3 bis L3, ziehen die Maus auf das schwarze Quadrat der Zelle L3 und ziehen die Maus mit gedrückter, linker Maustaste nach unten bis zur Zeile 49 (zum ältesten Kurs in Zeile 50 gibt es kein Vorgänger-Kurs, so dass auch keine Rendite berechnet werden kann).

Rendite_16b

Wir lassen die Zellen markiert und wählen mit der rechten Maustaste “Zellen formatieren”.

Rendite_17bNun reduzieren wir die Zahl der Nachkommastellen auf “4”, um die Übersichtlichkeit zu erhöhen.

Das Resultat sieht wie folgt aus (zum Vergrößern bitte wieder auf die Grafik klicken):

Rendite_18Der erste Wert bei BMW mit -0,0022 sagt aus, dass der Kurs im Vergleich zur Vorperiode um 0,22% gefallen ist.

Berechnung der Rendite, Varianz und Standardabweichung

Die Berechnungen führen wir unterhalb der monatlichen Renditen durch. Doch zuvor wollen wir die Bezeichnungen festlegen, um uns später wieder zurechtzufinden.
Danach berechnen wir die erwartete Rendite der BMW-Aktie. Diese entspricht dem Mittelwert der einzelnen Monatsrenditen:

erwartete_Rendite_19bDie erwartete Rendite von BMW über den gesamten Zeitraum wird mit der Funktion “Mittelwert” berechnet. Entweder tragen Sie in die Zelle die komplette Formel “=MITTELWERT(H3:H49)” ein oder Sie tragen “=MITTELWERT(” ein, markieren die betreffenden Zellen und bestätigen mit “ENTER”.

Danach klicken Sie einfach wieder in das kleine, schwarze Quadrat der Zelle H52 und ziehen die Maus bis zur Zelle L52, um die Renditen der weiteren Aktien auszugeben.

erwartete_Rendite_20Die Varianz berechnen wir auf die gleiche Art und Weise. Nur statt der Funktion “MITTELWERT” verwenden wir die Funktion “VARIANZ”. Also Zelle H53 markieren und “=VARIANZ(H3:H49)” (oder per Markierung der Zellen) einfügen. Anschließend übertragen Sie die Formeln wieder auf die Zellen I53 bis L53 wie zuvor beschrieben.

Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz. Also tragen wir in die Zelle H54 “=WURZEL(H53)” ein und übernehmen die Formel für die weiteren Zellen.

Varianz_21

 Berechnung der Korrelation

Zu Beginn stellen wir die fünf Aktien gegenüber, für die wir die Korrelation ausgeben wollen:

Korrelation_22Zur Berechnung der Korrelation stellt uns OpenOffice Calc die Funktion “Korrel()” zur Verfügung.
Einzugeben sind zwei Datenbereiche in der Form (Daten_1;Daten_2).

Um die Korrelation zwischen BMW und BMW zu ermitteln, gehen wir auf die Zelle H57 und geben “=KORREL(” ein.Nun werden die Zellen H3 bis H49 ausgewählt und ein Semikolon eingegeben. Anschließend werden nochmals die Zellen H3 bis H49 ausgewählt, da wir ja die Korrelation für BMW mit BMW ausgeben, und mit “ENTER” übernommen. Selbstverständlich können Sie auch direkt die Datenbereiche eingeben.

Korrelation_23Unabhängig welchen Weg Sie gehen, lautet die Funktion der Zelle “=KORREL(H3:H49;H3:H49)”.
Analog können wir für die weiteren Korrelation der ersten Zeile vorgehen. Für die Zelle I57 (BMW – Beiersdorf) muss die Funktion “=KORREL(H3:H49;I3:I49)” eingegeben werden, für J57 (BMW – Deutsche Bank) entsprechend “=KORREL(H3:H49;J3:J49)” usw.
In der zweiten Zeile beginnen wir mit der Paarung Beiersdorf – Beiersdorf, da die Korrelation Beiersdorf zu BMW bereits zuvor berechnet wurde. Der Datenbereich von Beiersdorf ist bekanntlich I3 bis I49, folglich lautet die Funktion “=KORREL(I3:I49;J3:J49)”.
Wie die Funktionen im einzelnen aussehen, zeigt die folgende Grafik.

Korrelation_24bMöglicherweise ist Ihnen aufgefallen, dass im Datenbereich teilweise ein “$” eingesetzt wurde. Das “$”-Zeichen definiert die darauffolgende Zeile oder Spalte als Konstante. Durch den Einsatz der Konstanten können wir uns Tipparbeit sparen.
Wir haben zuvor bei den Renditen auf das kleine, schwarze Quadrat der Zelle H3 geklickt und die Maus mit gedrückter, linker Taste zum Feld L3 gezogen. Dadurch wurde aus “=(B3-B4)/B4” in der Formel H3 in der Spalte J “(C3-C4)/C4″. Wäre die Funktion in H3 definiert mit “=($B3-$B4)/$B4”, so würde auch in den anderen  Spalten “=($B3-$B4)/$B4” stehen. Auf den gleichen Ablauf treffen wir in vertikaler Richtung. Nur das sich hier die Zeilennummern ändern, oder eben nicht, wenn wir das “$”-Symbol davorsetzen.

Zurück zu unserer Tabelle. Indem wir bei der Korrelationsberechnung zwischen BMW und BMW im Datenbereich 1 die Spalten als konstant festlegen “($H3:$H49;..” bleibt der erste Bereich beim Kopieren nach rechts (denn nichts anderes als Kopieren ist es, wenn wir über das schwarze Quadrat eine Funktion auf andere Zellen übertragen) im auf Spalte H, also BMW bezogen. Der zweite Datenbereich dagegen ist ohne Dollarzeichen und entsprechend variabel, so dass der Bereich erst auf Beiersdorf, dann auf die Deutsche Bank, E.ON und SAP zeigt.

Unabhängig wie Sie persönlich vorgehen, das Ergebnis sollte wie folgt aussehen:

Korrelation_25Aus der Tabelle können wir neben den einzelnen Korrelationen verschiedene Informationen auslesen:

  • Die Korrelation zwischen zwei gleichen Aktien muss immer 1 sein (vollständig positive Korrelation).
  • Es liegen keine negativen Korrelationen vor.
  • Es liegen keine hohen Korrelationen (> 0,7) vor. Hätten wir Aktien aus gleichen Sektoren verwendet, wäre die Korrelation im Schnitt sicherlich deutlich höher.
  • Die kleinste Korrelation liegt zwischen Beierdorf und E.ON (0,1050) vor, was einer sehr kleinen Korrelation entspricht (klein entspricht üblicherweise < 0,3).

Okt. 04

Moderne Portfoliotheorie Teil 2

UpDownArrowsKorrelation

Im letzten Artikel wurde angesprochen, dass durch Diversifikation das Risiko bei gleichbleibender Rendite gemindert werden kann, bzw. die Rendite bei gleichbleibendem Risiko erhöht werden kann. Ob und inwieweit sich dieser Effekt bemerkbar macht, hängt von der Korrelation der Portfoliowerte ab.

 Was ist Korrelation?

Eine Korrelation beschreibt die Stärke und Richtung eines statistischen Zusammenhanges zwischen zwei Variablen.

  • Der Korrelationskoeffizient, der den Zusammenhang beschreibt, liegt in einem Bereich zwischen -1 und +1.
  • Ein Korrelationskoeffizient > 0 drückt aus, dass beide Werte in die gleiche Richtung laufen.
  • Ein Korrelationskoeffizient = 0 bedeutet, dass kein Zusammenhang zwischen beiden Werten besteht.
  • Ein Korrelationskoeffizient < 0 beschreibt, dass beide Werte in unterschiedliche Richtung laufen.

Ein Korrelationskoeffizient von +1 wird als vollständig positive Korrelation bezeichnet. Die Kurse beider Werte laufen im Gleichklang, wie im nachfolgenden Diagramm zu erkennen ist.
Korr_Plus1
Entsprechend wird ein Korrelationskoeffizient von -1 als vollständig negative Korrelation bezeichnet. Beide Kurse verlaufen komplett gegenläufig. Korr_Minus1

Welche Folgen unterschiedliche Korrelationen zweier Wertpapier in einem Portfolio haben, wird im nächsten Diagramm veranschaulicht: Diff_Korrelation Bei einem Korrelationskoeffizienten von +1 besteht ein linearer Zusammenhang zwischen dem Risiko (Standardabweichung) und der Gewichtung der beiden Aktien, d.h. das Risiko kann nicht minimiert werden. Liegt die Korrelation bei 0,7 kann beispielweise eine um 5% höhere Rendite bei einem um 2% geringerem Risiko gegenüber der kompletten Investition in Aktie A erzielt werden. Noch deutlicher wird der Unterschied mit einem Korrelationkoeffizienten von 0,3. Hier kann das Risiko um ca. 7% abgesenkt werden bei gleicher Rendite wie im vorhergehenden Beispiel. Beträgt die Korrelation -1 kann das Risiko auf 0% reduziert werden. Allerdings dürfte es schwierig sein, zwei Anlageprodukte zu finden, die vollständig negativ korrelieren und dennoch Rendite abwerfen. Die erste Bedingung ist leicht zu erfüllen. Mit einem DAX-ETF und dem entsprechenden DAX-Short-ETF wird eine Korrelation von -1 erzielt, doch der Gewinn der einen Anlage wird durch den Verlust der anderen Anlage kompensiert, so dass die Rendite letztendlich bei 0% liegt.

Berechnung der Korrelation

Im Artikel “Mittelwert, Varianz und Standardabweichung” wurde die Varianz definiert als:

Var =((x1 – xm)2 + (x2 – xm)2 + (x3 – xm)2 + … + (xn – xm)2) : n

Die Varianz vermittelt die Streuung von Werten um einen Mittelwert. Für die Korrelation wird noch die Kovarianz benötigtie nach folgender Formel berechnet wird:

Cov(x,y) = ((x1 – xm) * (y1 -ym) + (x2 – xm) * (y2 – ym) + … + (xn – xm) * (yn – ym)) : n

Die Kovarianz stellt einen Bezug der Streuung zweier Werte um ihren jeweiligen Mittelwert dar. Mittels Zahlenbeispielen läßt sich der Sachverhalt anschaulich erklären:

Vorgabe: xm = ym = 1

  • Fall 1: x1 und y1 > xm, ym oder konkret x1 = y1 = 2 => Cov(x,y) = (2 – 1) * (2 – 1) = 1 * 1 = 1
  • Fall 2: x1 < xm und y1 > ym oder konkret x1 = 0 und y2 = 2 => Cov(x,y) = (0 – 1) * (2 – 1) = -1 * 1 = -1
  • Fall 3:x1 > xm und y1 < ym oder konkret x1 = 2 und y2 = 0 => Cov(x,y) = (2 – 1) * (0 – 1) = 1 * -1 = -1
  • Fall 4: x1 und y1 < xm, ym oder konkret x1 = y1 = 0 => Cov(x,y) = (0 – 1) * (0 – 1) = -1 * -1 = 1

Gehen beide Werte in die selbe Richtung – unabhängig ob sie über den Mittelwert steigen oder unter den Mittelwert fallen – so ist die Kovarianz positiv. Laufen beide Werte in unterschiedliche Richtungen, so ist die Kovarianz negativ. Der Korrelationskoeffizient r wird nun wie folgt berechnet:

r = \dfrac {Cov\left(x,y\right)} {Standardabweichung\left(x\right)\cdot Standardabweichung\left(y\right)}

Da üblicherweise Daten über einen längeren Zeitraum ausgewertet werden, sind die Berechnungen manuell nicht mehr durchführbar. Aber in den heutigen Tabellenkalkulationsprogrammen wie z.B. Excel oder Openoffice Calc sind die Funktionen schon integriert, so dass sich die Aufgaben relativ einfach lösen lassen. Darauf werden wir im nächsten Artikel eingehen.

Ziel der modernen Portfoliotheorie

Wie bereits erwähnt, ist das Ziel der modernen Portfoliotheorie, entweder das Risiko bei gleichbleibender Rendite zu senken oder bei gleichbleibendem Risiko die Rendite zu erhöhen. Dieses Ergebnis ist von der Auswahl der Werte im Portfolio und der Gewichtung der einzelnen Werte abhängig. Dabei ist die effektivste Auswahl, diejenige mit der geringsten Korrelation innerhalb der einzelnen Werte. Ebenso ist die Gewichtung mit besten Ergebnis in Abhängigkeit der Korrelation zu sehen. Der Zusammenhang ist einfach herzustellen: die Rendite von Goldminenaktien ist in erster Linie abhängig vom Goldpreis. Da die Förderkosten relativ konstant sind, kann eine positve Rendite nur bei einem Goldpreis deutlich über den Förderkosten erzielt werden. Besteht ein Depot aus zwei Goldminenaktien, so werden beide Aktien bei fallendem Goldpreis an Wert verlieren. Im Gegensatz dazu stehen beispielsweise Aktien von Konsumunternehmen. Hier sind zwar keine überdurchschnittliche Renditen zu erwarten, dafür sind die Werte einigermaßen krisenresistent. Schließlich werden Shampoo und Zahnpasta auch in wirtschaftlich unsicheren Zeiten benötigt. Wird nun das Depot mit einer Goldminen- und einer Konsumgüteraktie bestückt, so kann das Risiko des Portfolios deutlich gesenkt werden. Im nächsten Diagramm wird ein Portfolio mit den alphabetisch ersten fünf DAX-Aktien (Adidas, Allianz, BASF, Bayer und Beiersdorf) untersucht. Dabei wurden die monatlichen Schlußkurse ab Januar 2006 verwendet und im Anschluß die Renditen und Standardabweichungen für alle Gewichtungen in 10%-Schritten errechnet (d.h. 100% Adidas, dann 90% Adidas und je 10% für jeweils einen anderen Wert usw. – was insgesamt 1008 Kombinationen ergibt). Das Resultat sieht folgendermaßen aus: Ausfuehrbare ReihenDas Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) hat ein Risiko (Standardabweichung) von 4,75% bei einer monatlichen Rendite von 0,91%. Die Zusammensetzung des Depots besteht an dieser Stelle aus 10% Adidas, 0% Allianz, 10% BASF, 30% Bayer und 50% Beiersdorf. Die höchste Rendite mit 1,36% bei einer Standardabweichung von 6,67% wird mit 100% Bayer-Aktien erreicht. Vom Minimum-Varianz-Portfolio bis zum Punkt mit der höchsten Rendite verläuft der grün gezeichnete, effektive Rand. Der effiziente Rand bezeichnet die höchsten Renditen für jedes vorgegebene Risiko.

Die Grenzen der Portfoliotheorie

Wie alles im wirklichen Leben hat auch die moderne Portfoliotheorie ihre Grenzen. Tatsächlich kann nicht das komplette Risiko eliminiert werden, wie die nachfolgende Grafik zeigt: Portfoliorisiko Das Gesamtrisiko setzt sich aus dem systematischen und dem unsystematischen Risiko zusammen.

Unsystematisches Risiko:

Das unsystematische Risiko – auch als unternehmensspezifisches oder diverifizierbares Risiko bezeichnet – ist das rein investmentabhängige Risiko. Dieses Risiko ist entweder nur auf ein einzelnes Investment bezogen, z.B. durch Managementfehler wie eine falsche Produkt- oder Preispolitik, oder auf einen gesamten Industriezweig, wie z.B. bei Goldaktien durch das Absinken des Goldpreises. Das unsystematische Risiko läßt sich durch Diversifikation beinahe komplett eliminieren, indem durch Branchen- und Länderauswahl, bzw. durch unterschiedliche Anlageklassen ein Portfolio mit geringer Korrelation der einzelnen Titel erreicht wird.

Systematisches Risiko:

Das systematische Risiko oder auch Marktrisiko betrifft alle Wertpapiere gleichermaßen. Systematische Risiken entstehen durch gesamtwirtschaftliche Faktoren wie Finanzkrisen, politische Faktoren wie Kriege oder Handelsembargos, sowie durch höhere Gewalt wie etwa Naturkatastrophen. Das Marktrisiko läßt sich nur durch den Beta-Faktor der Investitionen beeinflussen: Der Beta-Faktor gibt an, wie sich ein Papier im Verhältnis zum Gesamtmarkt entwickelt. Ein Beta-Faktor von 1 sagt aus, dass sich eine Aktie wie der zugehörige Index entwickelt. Hätte die BASF-Aktie beispielsweise ein Beta von 1 und der DAX steigt um 10%, sollte auch der Kurs der BASF-Aktie um 10% steigen. Bei einem Beta-Faktor größer 1 steigt die Aktie überproportional zum Vergleichsindex. So würde ein Beta von 2 der BASF-Aktie bedeuten, dass bei einem Anstieg des DAX um 10% der BASF-Kurs um 20% steigt. Entsprechend folgt die Aktie bei einem Beta kleiner als 1 der Bewegung des Index’ unterproportional. Der Beta-Faktor kann auch negative Werte annehmen. In diesem Fall sinkt der Kurs, falls der Basisindex steigt.

Das Marktrisiko läßt sich somit senken, indem Wertpapiere mit einem Beta-Faktor kleiner als 1 ins Portfolio aufgenommen werden. Das Absenken des Risikos wird auch hier durch eine Verminderung der zu erwartenden Rendite erkauft.

Was ist zu beachten:

Alle berechneten Werte wie die erwartete Rendie, die Standardabweichung und die Korrelation sind nicht in Stein gemeiselt, sondern vielmehr Momentaufnahmen, die in regelmäßigen Abständen zu überprüfen, bzw. neu zu berechnen sind.

Wie bereits erwähnt, wollen wir uns im nächsten Artikel der praktischen Umsetzung der Portfoliotheorie widmen.

Mit der Nutzung unserer Website erklären Sie sich damit einverstanden, dass wir Cookies verwenden. Weitere Informationen

Die Cookie-Einstellungen auf dieser Website sind auf "Cookies zulassen" eingestellt, um das beste Surferlebnis zu ermöglichen. Wenn du diese Website ohne Änderung der Cookie-Einstellungen verwendest oder auf "Akzeptieren" klickst, erklärst du sich damit einverstanden.

Schließen